Sin falla alguna encuentro un gesto de sorpresa cada que menciono la existencia de la geometría diferencial discreta, algo que adoro puesto que fue mi misma reacción cuando me encontré con el trabajo de Keenan Crane. La pregunta que guía el desarrollo de esta área de estudio es simple ¿cómo podemos traducir todos los avances en geometría diferencial a un lenguaje que nos permita aplastarlos y colocarlos en nuestras computadoras?

La respuesta, por otro lado, no lo es.

El objeto más básico de la geometría diferencial es el de variedad y en este artículo quiero hablar sobre su traducción al objeto más básico de la geometría diferencial discreta: la malla de semi-aristas. Mi intención es que esto sea auto-contenido y el único requisito para leerle sea un grado razonable de imaginación y un nivel de madurez matemática post-rigor, como nos cuenta Terence Tao.

Comencemos con una forma ineficiente de representar una superficie combinatoria.

Matrices de Adjacencia.

Mallas de Semi-Aristas.

Imponiendo restricciones.

¿Qué hace una variedad y quién las vende?

Una variedad es un espacio agradable que localmente rememora la estructura geométrica de $\mathbb{R}^n$.

Esto significa que cada variedad $M$ viene con un contrato que garantiza lo siguiente: Si yo soy propiertario de una variedad $M$ y tu adquieres mi variedad para tomar un punto de ella, nómbralo $p$, yo estoy contractualmente obligado a proveerte de un vecindario $U_p$ que rodee a tu punto y además de un homeomorfismo $\varphi: U_p \to \mathbb{R}^n$ que transforma a tu vecindario en algún pedazo de $\mathbb{R}^n$, ofreciendote así el comfort mental de un espacio que carece de sorpresas.

Pero como siempre, uno debe de leer las letras pequeñas de cualquier contrato. Si lo haces entonces tendrás preguntas como ¿Es ese $U_p$ único? La respuesta es negativa, de hecho puedo proveerte de otro vecindario $V_p$ y en tal caso hay una sub-cláusula que garantiza la existencia de un homeomorfísmo $\varphi$ tal que ?

Esto es, existe una forma coherente de comfortabilizar los vecindarios de tu punto $p$.

Ve a leer cualquier definición de variedad topológica, esto es lo que dice, con palabras más pedantes.